Elektronický vzdelávací materiál

Súradnicová sústava v priestore

V rovine môžu byť najviac dva lineárne nezávislé vektory. Každé tri vektory v rovine sú lineárne závislé.
V priestore môžu byť najviac tri lineárne nezávislé vektory. Každé štyri vektory v priestore sú lineárne závislé.

Súradnicová sústava v priestore

je ľubovoľný bod O a tri lineárne nezávislé vektory i = OI j = OJ k = OK Bod O je začiatok súradnicovej sústavy, priamky x = OI , y = OJ z = OK sa nazývajú súradnicové osi.
Označujeme ju (O, x, y, z). Ak |i| = |j| = |k| = 1 a každé dve z osí x, y, z sú kolmé, súradnicová sústava sa nazýva karteziánska. Budeme používať pravotočivú karteziánsku sústavu

Súradnice vektora

Každý vektor v v priestore je lineárnou kombináciou vektorov i, j, k, teda existujú reálne čísla v₁, v₂, v₃ tak, že
v = v₁ i + v₂ j + v₃ k.
Čísla v₁, v₂, v₃ sú súradnice vektora v v súradnicovej sústave (O, x, y, z), teda
v = [v₁; v₂; v₃]
Pre každé dva vektory u = [u₁; u₂; u₃], v = [v₁; v₂; v₃] a pre každé reálne číslo k platí:
1. u + v = [u₁ + v₁; u₂ + v₂; u₃ + v₃], 2. ku = [ku₁; ku₂; ku₃].

Súradnice bodu

Každému bodu A v priestore môžeme priradiť jeho polohový vektor a = OA Súradnicami bodu A v (O, x, y, z) budeme rozumieť súradnice jeho polohového vektora, teda
A[a₁;a₂;a₃] ⇔ a = OA = [a₁; a₂; a₃]
Súradnice vektora v = AB vypočítame ako rozdiely súradníc koncového bodu a začiatočného bodu jeho ľubovoľného umiestenia, teda
v = AB = [b₁ - a₁; b₂ - a₂; b₃ - a₃]

Stred Úsečky

Uvažujme úsečku AB, kde A[a₁; a₂; a₃], B[b₁; b₂; b₃]. Nech S[s₁; s₂; s₃] je stred úsečky AB. Potom

S [
a₁ + b₁/2
;
a₂ + b₂/2
;
a₃ + b₃/2
]

Vzdialenosť bodov, velkosť vektora

Vzdialenosť bodov A, B je dĺžka úsečky AB. Pre vzdialenosť bodov A[a₁; a₂; a₃]; B[b₁; b₂; b₃], v karteziánskej súradnicovej sústave (O, x, y, z) platí:

Veľkosť vektora je dĺžka jeho ľubovoľného umiestnenia.
Ak v = AB = B - A , tak v = [b₁ - a₁; b₂ - a₂; b₃ - a₃] = [v₁; v₂; v₃]